Fractais

A Geometria Fractal é considerada a geometria da Teoria do Caos. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot, 1983), o criador da Teoria dos Fractais, insiste e mostra que é a geometria fractal, e não a geometria clássica euclidiana, a que realmente reflete a geometria dos objetos e dos processos do mundo real.

Podemos ver a ideia de Fractal no nosso corpo. Se tomarmos uma célula da nossa pele e a levarmos para um microscópio, veremos nessa célula todas as características da nossa pele. Examinando com mais cuidado, veremos lá a cor dos olhos; veremos se o cabelo é louro, se é preto, se é enrolado ou estirado. Veremos lá uma característica que o nosso avô teve, que não se manifestou em nós, mas vai se manifestar no nosso neto. Uma célula tem a nossa história, a história dos nossos ascendentes e dos nossos descendentes.

As principais características dos Fractais são: Extensão infinita dos limites; Permeabilidade dos limites e Autossimilaridade das formas e características.

Com a ideia de Fractal, deixamos de ver as coisas somente quantitativamente e passamos a vê-las também com um olhar qualitativo.

A palavra fractal vem do latim fractus, que significa fragmentado, fracionado, rugoso, irregular. Mais ainda, “frac” dá a ideia de fração (parte) e “tal” lembra total. Os objetos fractais denotam formas geométricas elementares que, ao se replicarem indefinidamente, ensejam figuras com padrões de grande beleza, preservando, em cada uma de suas partes, as características do todo, ressaltando-se a rugosidade e a não linearidade.

Mandelbrot, matemático que, em 1975, criou a teoria dos fractais, mostrou ser a Geometria fractal, por conta de suas características – extensão infinita dos limites, permeabilidade dos limites, autossimilaridade das formas e das características – que reflete a Geometria dos objetos e da configuração dos processos do mundo real.

Veja Postagens sobre Fractais.

Assim é que, pela característica da extensão infinita dos limites, o que predomina nos limites dos objetos e dos processos é a rugosidade, embora existindo um padrão regular (semelhança) nessa forma de ser rugoso. Os limites fractais são enrugados e complexos, e mantêm esse padrão em muitas escalas, desde o âmbito do todo até as mínimas partes em que se particione esse todo. Munné interpretou esse fato como uma borrosidade fractal: “A dimensão geométrica de carácter fracionado ou intermediário dos fractais parece ser indicadora de borrosidade”. Como as coisas têm os seus limites enrugados e são medidas linearmente, com retas, a extensão de seus limites depende do tamanho da unidade-padrão de medida, tendendo essa extensão ao infinito quando a unidade-padrão de medida tende a zero; ou seja, quanto mais se reduz o tamanho da unidade-padrão de medida, maior a extensão do que se está medindo.

A ideia de extensão infinita de um limite fractal pode ser demonstrada considerando-se uma fronteira ou um litoral geográfico, naturalmente irregular (Figura 1). Dependendo do comprimento da unidade-padrão de medida (regular) utilizada pela pessoa que mede, pode-se demonstrar que, ao se reduzir a unidade de medição, o comprimento da fronteira ou do litoral aumentará sem limite.

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FIGURA 1

Extensão Infinita dos Limites numa Fronteira Irregular (Adaptação da Fronteira entre Portugal e Espanha).

Imagine-se a fronteira da Figura 1. Se essa fronteira for medida com uma régua de tamanho igual a 2x, sua extensão será igual a 10x. Se a mesma fronteira for medida com régua de tamanho igual a x (metade do tamanho da primeira régua), sua extensão será igual a 12,3x. Como a régua é reta e a fronteira é enrugada, quanto menor for o tamanho da régua, mais as reentrâncias rugosas poderão ser medidas.

Essa característica da extensão infinita dos limites fractais não se manifesta somente nos objetos e nos processos físicos e da natureza, mas também naqueles que envolvem o comportamento humano. Zimmerman e Hurst acreditam que a noção fractal de limites pode ser aplicada aos limites cognitivos. Portanto, seria possível aumentar os limites cognitivos reduzindo-se o tamanho da unidade-padrão de medida de conhecimento, isto é, gerando um conhecimento que alcance os detalhes. Em outras palavras, a unidade-padrão de medida de conhecimento de cada sujeito depende do seu grau de conhecimento sobre aquilo que ele conhece. Logo, a compreensão sobre algo tem seus limites ampliados dentro de algumas possibilidades, por exemplo: a) dando-se maior atenção aos detalhes e desenvolvendo-se dados mais específicos de seus padrões; b) reformulando-se um padrão em curso, mediante o desenvolvimento de novas interpretações de eventos passados, do conhecimento do presente e de possibilidades de desenvolvimento de cenários para o futuro.

Veja Postagens sobre Fractais.

No que se refere à segunda característica fractal, a permeabilidade dos limites, existe uma borrosidade nos limites dos objetos e dos processos fractais que os torna inexatos, indefinidos e permeáveis. Na realidade, o limite é um intervalo com um grau de borrosidade variando de 0% a 100%. Essa permeabilidade dos limites se manifesta nos processos físicos e da natureza para intercâmbio de energia e de matéria no meio ambiente, bem como nos processos humanos, permitindo o intercâmbio de dados para geração de informação e de conhecimento e o aumento e melhoria dos relacionamentos, desde a menor escala até as escalas mais amplas, envolvendo o contexto, com todos os atores, fatores, ecofatores, e a aplicação e as implicações da aplicação desse conhecimento, dessa matéria, dessa energia e dessas transformações nos relacionamentos. A permeabilidade dos limites proporciona a mudança de estado, consequentemente, alterações de um padrão fractal para outro.

Veja-se, agora, um caso em que se manifesta a permeabilidade dos limites, na Figura 2 a seguir.

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FIGURA 2

Permeabilidade dos Limites na Cinta de Moebius.

Observe-se que a foto da Figura 2 representa uma cinta cuja elaboração requereu uma torção de 180º na tira de papel antes de serem coladas as extremidades. Esse objeto é percebido como não dual, não dicotômico, em certos aspectos. E tem unicidade em termos de lado e de borda. Por exemplo, a cinta tem somente um lado: o lado de fora é o mesmo lado de dentro. O lado de fora passa gradualmente a ser lado de dentro, e o lado de dentro passa gradualmente a ser lado de fora. Existe permeabilidade entre os limites fora e dentro. Ou seja, existem lugares na cinta em que o lado é, ao mesmo tempo, dentro e fora, num certo grau. Poder-se-ia dizer que ora o lado se caracteriza mais como lado de fora e ora esse mesmo lado se caracteriza mais como lado de dentro da cinta. Essa cinta possui, também, somente uma borda: a borda superior passa gradualmente a ser borda inferior, e a borda inferior passa gradualmente a ser borda superior. Existe permeabilidade entre os limites superior e inferior. Ou seja, existem lugares na cinta em que a borda é, ao mesmo tempo, superior e inferior, num certo grau. Poder-se-ia dizer que ora a borda se caracteriza mais como borda superior e ora essa mesma borda se caracteriza mais como borda inferior da cinta.

Veja Postagens sobre Fractais.

A terceira característica dos fractais é a autossimilaridade, expressa pelo fato de existir uma semelhança nas formas e nas características dos objetos e da configuração dos processos em relação às dos seus componentes. Ao se observar iterativamente o todo em relação às suas partes componentes, estas, por menores que sejam, denotam formas e características semelhantes às do todo que compõem, em todas as escalas. Significa dizer que a estrutura fractal exprime invariância de escala, razão pela qual é a estrutura mais otimizada para permitir maior contato com o exterior. Por conta da sua estrutura fractal, por exemplo, é que as árvores, hortaliças e frutos absorvem mais luz solar e as raízes absorvem mais nutrientes.

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FIGURA 3

Autossimilaridade num Brócolis Romanesco.

Na verdade, cada parte reflete a estrutura do todo. Diz-se, então, que as características da parte estão no todo e que as características do todo estão na parte, como acontece no Brócolis Romanesco, mostrado na Figura 3.

Segundo Zimmerman e Hurst, “a autossemelhança proporciona um sentido de ordem a estruturas rugosas aparentemente irregulares. Isto permite manter a sua essência – os relacionamentos que constituem sua identidade – em uma ampla gama de escalas”. Pode-se dizer que a visão fractal de um objeto e da configuração de um processo é a iterativa reflexão de todo o objeto ou da configuração do processo em cada um de seus componentes. Não é uma visão hierárquica, de cima para baixo, e sim uma visão em zoom.

A extensão infinita dos limites fractais, a permeabilidade dos limites fractais e a autossimilaridade correspondem, no paradigma da complexidade, às ideias da lógica fuzzy, uma lógica não dicotômica, com um espectro infinito de opções.

Veja Postagens sobre Fractais.

2 pensamentos em “Fractais”

  1. ana disse:

    è o oooohhh

    1. Julio Torres disse:

      Seja bem-vinda, Ana.

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